Bolzano, Bernhard

metafisico, filosofo della religione e matematico cecoslovacco (Praga 1781-1848). Nel suo insegnamento di filosofia della religione Bolzano fu a lungo accusato di ispirarsi a Schelling; ma, grazie alla protezione del vescovo, poté conservare la cattedra all'Università di Praga, che gli fu tolta nel 1820, con provvedimento di polizia. In realtà, il suo scritto sulle prove dell'immortalità dell'anima (1827) ricalca linee leibniziane. La parte più originale della sua opera sono gli scritti gnoseologici e matematici. Nella Dottrina della scienza distinse una “proposizione in sé”, che è il senso puramente logico della proposizione, astraendo dal fatto che essa sia effettivamente formulata, e che sia vera o falsa; una “rappresentazione in sé”, che è il contenuto oggettivo della rappresentazione, indipendente dal soggetto che la pensa; e una “verità in sé”, che è la validità di una proposizione vera, indipendentemente dal fatto che essa sia espressa. Questo aspetto del pensiero di Bolzano ebbe molta influenza su Husserl e sul movimento fenomenologico in genere. In campo matematico si dedicò particolarmente all'analisi studiando le funzioni continue e quelle che non ammettono derivate (1834), studio ripreso da K. Weierstrass. Indipendentemente da Cauchy, formulò le nozioni di limite, derivata, continuità e convergenza. Nell'opera I paradossi dell'infinito analizzò il problema dell'infinito attuale e le contraddizioni che ne conseguivano. Rilevò la differenza esistente tra l'infinito dei numeri reali e quello dei numeri interi e sottolineò la proprietà delle classi infinite di essere equipotenti a una delle loro sottoclassi. Per esempio l'insieme dei numeri interi è equipotente al suo sottoinsieme dei numeri interi divisibili per 2. Infatti la legge che associa a ogni numero intero a il suo doppio 2a è una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi. In quest'opera sono ravvisabili molte nozioni che precorrono la teoria degli insiemi di Cantor. Tra le opere principali si ricordano: Wissenschaftslehre (1837; Dottrina della scienza), Paradoxien des Unendlichen (1851; I paradossi dell'infinito) e Funktionenlehre (postuma, 1930; Teoria delle funzioni).

Teorema di Bolzano-Weierstrass

Ogni insieme limitato E di uno spazio R, al quale appartengano infiniti punti, contiene almeno un elemento di accumulazione, al finito o all'infinito, cioè esiste un punto opportuno, non necessariamente interno all'insieme, in ogni intorno del quale si trovano infiniti punti dell'insieme.

Bibliografia

E. Winter, J. Berg, P. Funk, Bernard Bolzano, Ein Denker und Erzieher, in “Österreischen Vormarz”, Vienna, 1967; G. Rutto, Bernhard Bolzano, Torino, 1984.